La recta de Euler ;)

La recta de Euler de un triángulo es aquella que contiene al ortocentro, al circuncentro y al baricentro del mismo. Se llama así, en honor al matemático suizo Leonhard Euler quien descubrió este hecho a mediados del siglo XVIII.

En un triángulo ABC, se determinan D es el punto medio del lado BC y E el punto medio del lado CA. Entonces AD y BE son medianas que se intersectan en el baricentro G. Trazando las perpendiculares por D y E se localiza el circuncentro O.

A continuación se prolonga la recta OG (en dirección a G) hasta un punto P de modo que PG tenga el doble de longitud de GO.

Al ser G baricentro, divide a las medianas en razón 2:1, es decir: AG=2GD. De este modo

\frac{AG}{GD} = 2 = \frac{PG}{GO}.

Por otro lado, los ángulos AGP y DGO son opuestos por el vértice y por tanto iguales. Estas dos observaciones permiten concluir que los triángulos AGP y DGO son semejantes.

Pero de la semejanza se concluye que los ángulos PAG y ODG son iguales y de este modo AP es paralela a OD. Finalmente, dado que OD es perpendicular a BC entonces AP también lo será, es decir AP es la altura del triángulo.