La recta de Euler ;)

La recta de Euler de un triángulo es aquella que contiene al ortocentro, al circuncentro y al baricentro del mismo. Se llama así, en honor al matemático suizo Leonhard Euler quien descubrió este hecho a mediados del siglo XVIII.

En un triángulo ABC, se determinan D es el punto medio del lado BC y E el punto medio del lado CA. Entonces AD y BE son medianas que se intersectan en el baricentro G. Trazando las perpendiculares por D y E se localiza el circuncentro O.

A continuación se prolonga la recta OG (en dirección a G) hasta un punto P de modo que PG tenga el doble de longitud de GO.

Al ser G baricentro, divide a las medianas en razón 2:1, es decir: AG=2GD. De este modo

\frac{AG}{GD} = 2 = \frac{PG}{GO}.

Por otro lado, los ángulos AGP y DGO son opuestos por el vértice y por tanto iguales. Estas dos observaciones permiten concluir que los triángulos AGP y DGO son semejantes.

Pero de la semejanza se concluye que los ángulos PAG y ODG son iguales y de este modo AP es paralela a OD. Finalmente, dado que OD es perpendicular a BC entonces AP también lo será, es decir AP es la altura del triángulo.

Primera tarea ;)

Definiciones:

Poligono:

• El polígono es una figura geometrica conformada por segmentos consecutivos no alineados, llamados lados.

• Los polígonos cuyos lados no están en el mismo plano, se denominan polígonos alabeados.

• Existe la posibilidad de configurar polígonos en más de dos dimensiones. La generalización de un polígono en tres dimensiones se denomina poliedro, en cuatro dimensiones se llama policoro y en n dimensiones se denomina politipo.

Diagonal:

• Una diagonal es todo segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono o de un poliedro. En sentido coloquial, una diagonal es una recta o segmento con cierta inclinación, o un conjunto de elementos alineados de esta manera.

• En un poligono de n lados, el número de diagonales viene dado por la ecuación:

• Este resultado se obtiene razonando de la siguiente manera: a partir de cada uno de los n vertices pueden trazarse n - 3 diagonales, pues no hay diagonales hacia sí mismo ni hacia los 2 vértices adyacentes. Dado que la diagonal que va de un vértice A a otro B y la que viene de ese vértice B de regreso al vértice A son la misma diagonal, se divide por dos para evitar contar esta diagonal dos veces.

Cuadrilatero:

• Un cuadrilatero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros pueden tener distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales. Otros nombres usados para referirse a este polígono son tetrágono y cuadrángulo.

• Los elementos de un cuadrilátero son:

* 4 vértices: los puntos de intersección de las rectas que conforman el cuadrilátero;

* 4 lados: los segmentos limitados por dos vértices contiguos;

* 2 diagonales: los segmentos cuyos extremos son dos vértices no contiguos;

* 4 ángulos interiores: conformados por dos lados y un vértice común;

* 4 ángulos exteriores: conformados por un lado, un vértice y la prolongación del lado adyacente.

• En todos los cuadriláteros la suma de los cuatro ángulos interiores es igual a 360º o 2π radianes; la suma de los cuatro ángulos exteriores también es igual a 360°.

Circulo:

• Un circulo, en geometría, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio. Es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia.

• En castellano, la palabra círculo tiene varias acepciones, la primera: una superficie geométrica plana contenida dentro de una circunferencia con área definida; mientras que se denomina circunferencia la curva geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes del centro, y sólo posee longitud. "Aunque ambos conceptos están relacionados, no debe confundirse la circunferencia con el círculo